..Integrali..

Integrali është koncepti thelbësor i matematikës
së përparuar, posaçërisht në fushën e
analizës matematike. Integrali i funksionit f(x) (lexo f të
x-it ose funksion i x-it) i një ndryshoreje x dhe një
intervali [a,b] i një vije reale është :

\\int_a^b f(x)\\,dx

Ky integral paraqet syprinën (ose sipërfaqen) e një
pjese në planin xy i lidhur nga grafiku i f-ës, aksit x, dhe
vija vertikale x = a dhe x = b.

Fjala "integral" gjithashtu mund të nënkuptojë një
kundërderivat, një funksion F derivati i të cilit
është funksioni i dhënë f. Në këtë
rast njihet si integral i pafund, ndërsa integralet e diskutuara
në këtë artikull quhen integral të përcaktuar.

Principet e integrimit u formuluan nga Isaac Newton dhe Gottfried
Wilhelm Leibniz në fundin e shekullit të
shtatëmbëdhjetë përmes teoremës themelore
të analizës matematike që ata zhvilluan të pavarur
nga njëri tjetri. Integrali është i lidhur me
diferencialin, dhe integrali i përcaktuar i një funksioni
mund të llogaritet vetëm nëse kundërderivati
është i njohur. Integralet dhe derivatet u bënë
instrumente themelore për analizën matematike, me shumë
zbatime në shkencë dhe inxhenieri.

Një definicion më rigorozë matematikorë i
integralit u dha nga Bernhard Riemann, bazuar në një
procedurë kufizimi që përafron zonën e një
hapësire vijlineare duke shkëputur hapësirën
në fasha vertikale të holla. Një integral vijorë
është e përcaktuar për funksione me dy ose tre
ndryshore, dhe inervali i integralit [a,b] është
zëvëndësuar nga një lakore e sigurt që
lidhë dy pika në fushë ose në hapësirë.
Në një integral sipërfaqësorë, lakorja
është zëvendësuar nga një copë e
sipërfaqes në hapësirën tri dimenzionale.

Integralet e formave të ndryshme luajnë rol themelorë
në gjeometrinë moderne të diferencialëve. Këto
përgjithësime të integraleve fillimisht u bënë
për shkak të nevojave të fizikës dhe luajnë
rol të rëndësishëm në formulimin e shumë
ligjeve të fizikës ku të njohur janë ligjet e
elektrodinamikës. Konceptet moderne të integrimit janë
të bazuara në teoremën abstrakte matematikore të
njohur si integrimi Lebesgue, zhvilluar nga Henri Lebesgue.

Historia

Forma integrale janë përdorur që në kohën e
Egjyptit të vjetër rreth 1800 vite p.e.s., për të
cilat gjënden dokumente në materialin e njohur si Papirusi
Matematik Mokovit, ku janë të demonstruara njohuri mbi
formulën përmes së cilës është llogaritur
vëllimi i frustumit piramidal. Dokumentimi i parë i
teknikës sistematike të aftë për vendosjen e
integralëve është metoda exhaustion e Eudoksusit (rreth
vitit 370 p.e.s.), e cila provon të llogarisë hapësirat
dhe vëllimet duke i ndarë ato në numëra të pa
caktuar të formave për të cilët hapësira apo
vëllimi njihen. Kjo metodë u zhvillua më mbas dhe u
aplikua nga Arkimedi dhe u përdor për llogaritjen e
hapësirave të parabolave dhe për përafrim të
hapsirës së rrethit. Metoda të ngjashme të pa
varura nga njëra tjetra u zhvilluan edhe në Kinë rreth
shekullit III nga Liu Hui, i cili i përdori ato për të
gjetur hapësirën e rrethit. Kjo metodë më vonë
u përdor nga Zu Chongzhi për të gjetur vëllimin e
sferës.

Ndryshime të dukshme të këtyre metodave nuk u
vërjtën deri në shekullin XVI kur u paraqit Bonaventura
Cavalieri me metodën e tijë të pandashmërisë
dhe Fermat i cili filloi t'i vendosë themelet e analizës
matematike. Hapat e mëtejëm u bënë në fillim
të shekullit XVII nga Isaac Barrow dhe Torricelli, të
cilët përgatitën aludimet e para të lidheve në
mes integrimit dhe diferencimit.

Newton dhe Leibniz

Përparim i madh në metodat e integrimit u bë në
shekullin e XVII me zbulimin e teoremës themelore të
analizës matematike nga Isaac Newton dhe Leibniz, të
cilët zhvilluan të pavarur nga njëri tjetri. Teorema
demostron një lidhje të integrimit dhe diferencimit. Kjo
lidhje e kombinuar me lehtësinë krahasuese të
diferencimit mund të përdoret për llogaritjen e
integraleve. Pjesërisht teorema themelore e analizës
matematike mundëson zgjedhjen e problemeve shumë më
të mëdhenjë. Rëndësi të njëjtë
ka dhe struktura e kuptueshme matematikore të cilën e
zhvilluan poashtu Newton dhe Leibniz.

Hyrje

Integralet paraqiten në shumë situata praktike. Le të
marrim shembull një pishinë. Duke marrë parasyshë
gjatësinë, gjerësinë dhe thellësinë e
pishinës me shumë lehtësi mund të llogarisim
vëllimin e ujit (i cili duhet për të mbushur
pishinën), gjithashtu mund të llogarisim syprinën
(për të mbuluar) dhe gjatësinë e këndeve
(për ta rrethuar). Nëse është i rrumbullakët
me fund formë rrethi për të llogaritur tëgjitha
këto të dhëna duhet përdorur integralet. Llogaritja
e përafërt në jetën praktike mund të na kryen
punë por jo edhe nëse na nevojiten rezultate të sakta
dhe precize.